【数学干货】MME必考题:关于方程式之间的平行,重合,相交关系

VCEMME考试中,有一种题目是每年的高考学子们都要面对的,题目大概如下:

Find the value(s) of m and n in the simultaneous equations:

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If there is   a) unique solution   b) no solution    c) infinite solutions


解题思路:

当拿到这类题的时候,同学们首先要明白的是什么情况下这个方程组会分别达到这三个条件。

从题目中来看,我们可以直截了当的看出是一个两元一次方程组。所以说,两个方程式分别是两条直线。由此可得,当两条直线要么相交,要么平行(重合也是平行的一种)。那么,什么情况下两条直线是相交?

对于两条直线而言,只要他们的gradient(斜率)不同,那么这两条直线就必定会有一个交点。也就是说如果我们把这两条直线看做一个方程组的话,这个方程组将会有一个解、也就满足了a)小问。

如果两条直线平行(不相交),那么他们的gradient不同并且永远不会相交,所以这个方程组不会有解、从而满足了题目中的b)小问。

如果两条直线重合,那么两条直线的解析式的一致的。系数和常量项的同比增大导致他们看上去不同。如果两条直线重合,那么从图像的角度上来看,两条直线相交无数次。所以说这个方程组会有无数多个解满足了c)小问。


如何快速判断两条直线是否平行:

在两个方程式中变量前的系数相比,如果说两个比值相等的话,那么这两条直线就会是平行的,也就是说:

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由此可得,当m=3的时候,两条直线将会平行。

反之,如果m≠3的时候,两条直线将会有一个交点,也就是说方程组会有唯一解。


如何快速判断两条直线是否重合:

如果说常量项相比后得到的比值等于变量系数的比值,那么我们就可以判断一个解析式是另一个的同比增大或减小后的结果。所以说两条直线是重合的:

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由此可得n=10。也就是说,当n=10的时候两条直线重合,那么方程组有无数个解。

 

综上所述,这道题的答案为:

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